2014—2015学年第一学期高三强化训练理科数学试题二
班级 姓名 座号 得分
一.选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分。)
1.[2014·浙江卷] 为了得到函数y=sin3x+cos3x的图像,可以将函数y=cos3x的图像( )
A.向右平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向左平移个单位
2.[2014·辽宁卷] 将函数y=3sin的图像向右平移个单位长度,所得图像对应的函数( )
A.在区间上单调递减 B.在区间上单调递增
C.在区间上单调递减 D.在区间上单调递增
3.已知函数 且 则函数 的图象的一条对称轴是( )
A. B. C. D.
4.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图11,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图像大致为( )
图11
A B C D
5. [2014•天津文卷] 已知函数 在曲线 与直线 的交点中,若相邻交点距离的最小值为 ,则 的最小正周期为( )
A. B. C. D.
6.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设α∈,β∈,且tan =,则( )
A.3 -β= B.3 +β= C.2 -β= D.2 +β=
7.[2014·重庆卷] 已知△ABC的内角A,B,C满足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是( )
A.bc(b+c)>8 B.ab(a+b)>16 C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24
8.已知 为R上的可导函数,当 时, ,则函数 的零点个数为( )
A.1 B.2 C.0 D.0或2
9.已知 是可导的函数,且 对于 恒成立,则( )
A. B.
C. D.
10.已知函数 ,给出下列命题:(1) 必是偶函数;(2)当 时, 的图象关于直线 对称;(3)若 ,则 在区间 上是增函数;(4) 有最大值 . 其中正确的命题序号是( )
A.(3) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(2)(3)
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11.[2014·四川卷] 如图13所示,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高度是46 m,则河流的宽度BC约等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,≈1.73) 图13
12.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφ cos(x+φ)的最大值为____.
13.[2014·北京卷] 设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为________.
14.设常数a使方程 在闭区间[0,2 ]上恰有三个解 ,则 。
15. 若△ 的内角满足 ,则 的最小值是 .
三、(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.[2014·安徽卷] 设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.
(1)求a的值; (2)求sin的值.
17.[2014·重庆卷] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值; (2)若f=,求cos的值.
18.[2014·湖南卷] 如图15所示,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.
(1)求cos∠CAD的值;
(2)若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的长.
图15
19. [2014·陕西卷] △ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);
(2)若a,b,c成等比数列,求cos B的最小值.
20.(本小题满分12分)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3 a 5)的管理费,预计当每件产品的售价为x元(9 x 11)时,一年的销售量为(12-x)2万件。
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式;
(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Q(a)。
21.[2014·北京卷] 已知函数f(x)=xcos x-sin x,x∈.
(1)求证:f(x)≤0;
(2)若a<<b对x∈恒成立,求a的最大值与b的最小值.
2014—2015学年第一学期高三强化训练理科数学试题二答案1----10.CBACC, CACDA 11.60 12.1 13.π 14. 15.
16.解: (1)因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B,由余弦定理得cos B==,所以由正弦定理可得a=2b·.
因为b=3,c=1,所以a2=12,即a=2 .
(2)由余弦定理得cos A===-.
因为0<A<π,所以sin A===.
故sin=sin Acos+cos Asin=×+×=.
17.解:(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π,所以ƒ(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.
又因为f(x)的图像关于直线x=对称,
所以2×+φ=kπ+,k=0,±1,±2,….
因为-≤φ<,所以φ=-.
(2)由(1)得ƒ=sin(2×-)=,所以sin=.
由<α<得0<α-<,
所以cos===.
因此cos=sinα=sin=sincos+cossin
=×+×=.
18.解:(1)在△ADC中,由余弦定理,得cos∠CAD=,
故由题设知,cos∠CAD==.
(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.
因为cos∠CAD=,cos∠BAD=-,
所以sin∠CAD===,
sin∠BAD===.
于是sinα=sin (∠BAD-∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD
=×-×=.
在△ABC中,由正弦定理,得=.
故BC===3.
19.解:(1)∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.
∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),
∴sin A+sin C=2sin(A+C).
(2)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.由余弦定理得
cos B==≥=,当且仅当a=c时等号成立,
∴cos B的最小值为.
20.解:(Ⅰ)分公司一年的利润 (万元)与售价 的函数关系式为:
.
(Ⅱ) .
令 得 或 (不合题意,舍去).
, .
在 两侧 的值由正变负.
所以(1)当 即 时,
.
(2)当 即 时,
,
所以
答:若 ,则当每件售价为9元时,分公司一年的利润 最大,最大值 (万元);若 ,则当每件售价为 元时,分公司一年的利润 最大,最大值 (万元).
21.解:(1)证明:由f(x)=xcos x-sin x得f′(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.
因为在区间上f′(x)=-xsin x<0,所以f(x)在区间上单调递减.
从而f(x)≤f(0)=0.
(2)当x>0时,“>a”等价于“sin x-ax>0”,“<b”等价于“sin x-bx<0”.
令g(x)=sin x-cx,则g′(x)=cos x-c.
当c≤0时,g(x)>0对任意x∈恒成立.
当c≥1时,因为对任意x∈,g′(x)=cos x-c<0,所以g(x)在区间上单调递减,
从而g(x)<g(0)=0对任意x∈恒成立.
当0<c<1时,存在唯一的x0∈使得g′(x0)=cos x0-c=0.
g(x)与g′(x)在区间上的情况如下:
x |
(0,x0) |
x0 |
|
g′(x) |
+ |
0 |
- |
g(x) |
|
|
|
因为g(x)在区间(0,x0)上是增函数,所以g(x0)>g(0)=0.进一步,“g(x)>0对任意x∈恒成立”当且仅当g=1-c≥0,即0<c≤.
综上所述,当且仅当c≤时,g(x)>0对任意x∈恒成立;当且仅当c≥1时,g(x)<0对任意x∈恒成立.
所以,若a<<b对任意x∈恒成立,则a的最大值为,b的最小值为1.
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