2014—2015学年第一学期高三强化训练理科数学试题二
班级 姓名 座号 得分
一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。）
1．[2014·浙江卷] 为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图像，可以将函数y＝cos3x的图像( )
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
2．[2014·辽宁卷] 将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数( )
A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增
3.已知函数 且 则函数 的图象的一条对称轴是( )
A. B. C. D.
4．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图11，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为( )
图11
A B C D
5. [2014•天津文卷] 已知函数 在曲线 与直线 的交点中，若相邻交点距离的最小值为 ，则 的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
6．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设α∈，β∈，且tan ＝，则( )
A．3 －β＝ B．3 ＋β＝ C．2 －β＝ D．2 ＋β＝
7．[2014·重庆卷] 已知△ABC的内角A，B，C满足sin 2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是( )
A．bc(b＋c)>8 B．ab(a＋b)>16 C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24
8．已知 为R上的可导函数，当 时， ，则函数 的零点个数为（ ）
A.1 B.2 C.0 D.0或2
9.已知 是可导的函数，且 对于 恒成立，则( )
A． B．
C． D．
10.已知函数 ，给出下列命题：（1） 必是偶函数；（2）当 时， 的图象关于直线 对称；（3）若 ，则 在区间 上是增函数；（4） 有最大值 . 其中正确的命题序号是（ ）
A.（3） B.（2）（3） C.（3）（4） D.（1）（2）（3）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．[2014·四川卷] 如图13所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73) 图13
12．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφ cos(x＋φ)的最大值为____．
13．[2014·北京卷] 设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
14.设常数a使方程 在闭区间[0,2 ]上恰有三个解 ，则 。
15. 若△ 的内角满足 ,则 的最小值是 .
三、（本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．[2014·安徽卷] 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.
(1)求a的值； (2)求sin的值．
17．[2014·重庆卷] 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值； (2)若f＝，求cos的值．
18．[2014·湖南卷] 如图15所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.
(1)求cos∠CAD的值；
(2)若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．
图15
19． [2014·陕西卷] △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；
(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．
20．（本小题满分12分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3 a 5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9 x 11）时，一年的销售量为（12－x）2万件。
（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）。
21．[2014·北京卷] 已知函数f(x)＝xcos x－sin x，x∈.
(1)求证：f(x)≤0；
(2)若a<<b对x∈恒成立，求a的最大值与b的最小值．
2014—2015学年第一学期高三强化训练理科数学试题二答案1----10．CBACC, CACDA 11．60 12．1 13．π 14． 15．
16．解： (1)因为A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B，由余弦定理得cos B＝＝，所以由正弦定理可得a＝2b·.
因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，即a＝2 .
(2)由余弦定理得cos A＝＝＝－.
因为0<A<π，所以sin A＝＝＝.
故sin＝sin Acos＋cos Asin＝×＋×＝.
17．解：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又因为f(x)的图像关于直线x＝对称，
所以2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….
因为－≤φ＜，所以φ＝－.
(2)由(1)得ƒ＝sin(2×－)＝，所以sin＝.
由＜α＜得0＜α－＜，
所以cos＝＝＝.
因此cos＝sinα＝sin＝sincos＋cossin
＝×＋×＝.
18．解：(1)在△ADC中，由余弦定理，得cos∠CAD＝，
故由题设知，cos∠CAD＝＝.
(2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.
因为cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－，
所以sin∠CAD＝＝＝，
sin∠BAD＝＝＝.
于是sinα＝sin (∠BAD－∠CAD)＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD
＝×－×＝.
在△ABC中，由正弦定理，得＝.
故BC＝＝＝3.
19．解：(1)∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B.
∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，
∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．
(2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.由余弦定理得
cos B＝＝≥＝，当且仅当a＝c时等号成立，
∴cos B的最小值为.
20．解：（Ⅰ）分公司一年的利润 （万元）与售价 的函数关系式为：
．
（Ⅱ） ．
令 得 或 （不合题意，舍去）．
， ．
在 两侧 的值由正变负．
所以（1）当 即 时，
．
（2）当 即 时，
，
所以
答：若 ，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润 最大，最大值 （万元）；若 ，则当每件售价为 元时，分公司一年的利润 最大，最大值 （万元）．
21．解：(1)证明：由f(x)＝xcos x－sin x得f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
因为在区间上f′(x)＝－xsin x<0，所以f(x)在区间上单调递减．
从而f(x)≤f(0)＝0.
(2)当x>0时，“>a”等价于“sin x－ax>0”，“<b”等价于“sin x－bx<0”．
令g(x)＝sin x－cx，则g′(x)＝cos x－c.
当c≤0时，g(x)>0对任意x∈恒成立．
当c≥1时，因为对任意x∈，g′(x)＝cos x－c<0，所以g(x)在区间上单调递减，
从而g(x)<g(0)＝0对任意x∈恒成立．
当0<c<1时，存在唯一的x0∈使得g′(x0)＝cos x0－c＝0.
g(x)与g′(x)在区间上的情况如下：
|
x |
(0，x0) |
x0 |
|
|
g′(x) |
＋ |
0 |
－ |
|
g(x) |
|
|
|
因为g(x)在区间(0，x0)上是增函数，所以g(x0)>g(0)＝0.进一步，“g(x)>0对任意x∈恒成立”当且仅当g＝1－c≥0，即0<c≤.
综上所述，当且仅当c≤时，g(x)>0对任意x∈恒成立；当且仅当c≥1时，g(x)<0对任意x∈恒成立．
所以，若a<<b对任意x∈恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1.
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